微软AI协作证明31年KLS猜想

时间：2026年10月21日，微软研究院官方博客与官方社交账号同步对外公布这一成果；论文《An O(1) Bound for the KLS Constant》（arXiv:2610.01447）由赵松与张新智署名，完整证明版本于10月4日挂出，首版（10月1日）标题为 An O(4^log* n) Bound for the KLS Constant。 地点：美国华盛顿州西雅图，微软研究院机器学习与优化组（Machine Learning and Optimization）。 人物：微软研究院机器学习与优化组研究员张新智（Xinzhi Zhang）与合作作者赵松（Zhao Song）。官方博客在致谢部分列出了 Victor Reis 与 Ishai Menache 参与的项目讨论。同日，另有两个独立研究团队分别提交了各自的完整证明。 事件详情：Kannan-Lovász-Simonovits（KLS）猜想由 Kannan、Lovász、Simonovits 于1995年提出。它问的是：对于实数空间上的一整类各向同性对数凹概率测度，最优的超平面切割是否总是"接近"任意形状的最优切割，两者之间的差距是否被一个与维度无关的普适常数所界定。论文给出的结论是：每个各向同性对数凹概率测度的 Cheeger 常数满足 ψ_n ≤ C（C 为普适常数），从而彻底解决了 KLS 猜想；作者同时证明了对每个各向同性对数凹概率测度 μ 都有 C_P(μ) ≤ C′（C′ 为普适常数）。 技术路径方面，研究者先把2026年7月建立的最佳已知结果（arXiv:2607.24164）中的界改写得更精确，再用结构化的人机协作流程探索了100多条候选路线，其中许多涉及高阶张量的冗长计算，由此得到一条新的数学判据，成为最终证明的基础。随后他们发现该判据可以被递归地反复应用：每一次改进后的界都能回灌进同一套论证，得到更紧的界。10月1日版本把对维度的依赖降到了迭代对数（iterated logarithm，log* n）——这个函数增长极慢，但仍在随维度增长，因此尚未完全解决猜想。最后一步是把整个递归精化过程无限重复，而不是只做一次；这个想法受作者此前在线性规划快速算法上的工作启发，他们证明了每一阶段引入的小误差衰减足够快，其总和被一个与维度无关的普适常数所界定，由此消除了对维度的全部依赖，在10月4日版本中完成证明。递归方法、递归的反复应用、以及误差累积有界的证明，均属研究者原创贡献。 在人机协作方面，研究者采用智能体式搜索流程并配合人工介入的"剪枝"：多个智能体并行探索同一想法的变体，研究者检查中间结果、淘汰不成立的方向、把最有希望的结果传给下一轮，关键突破出现前共探索了约100条研究轨迹。AI工具承担了探索候选路线、推导细节、整理手稿和内部证明检查的工作；数学方向由研究者确定。在另一条并行的验证线路上，研究者用数个前沿AI模型反复做无引导的尝试，投入的总token预算与主流程大致相当，但未能达成目标。 背景：KLS猜想自1995年提出以来一直被当作高维凸几何的核心开放问题，此前三十余年间不断有证据支持但始终缺少完整证明。它的重要性在解决之前已获学界反复确认：MSRI 2017-18年度报告称其为"高维凸几何中的一个核心开放问题"，西蒙斯研究所称其为"凸几何中最重要的开放问题之一"，2022年国际数学家大会论文集收录了 Ronen Eldan 对其广泛影响的论述，《Quanta Magazine》2021年撰文称 KLS"位于统计与计算机科学众多问题的核心"。此前该领域最好的结果由 arXiv:2607.24164 建立于2026年7月，它允许那个界随维度缓慢增长，尚不足以证明猜想成立。本次研究所处的背景还有近两年 AI 参与数学证明的整体推进：OpenAI 曾一次性公布大批数学成果，多项长期悬而未决的问题被推进，与 KLS 的解决一起构成了近期 AI 辅助数学研究的密集事件。 影响：KLS猜想在高维采样理论中居核心地位，它关系到随机游走能多快探索一个分布，因此该证明为广泛使用的随机化算法效率分析移除了一块主要理论障碍。此前许多把 KLS 猜想当作假设来使用的结果，现在可以无条件陈述，为凸几何、概率论与理论计算机科学提供了更坚实的基础。在证明发布当天，两个独立团队分别提交了完整证明：一份（arXiv:2610.05474）建立在论文首版基础上，并称其中的判据是证明的"关键一步"；另一份（arXiv:2610.07728）依赖一个密切相关的想法。此外社区已发布一份 Lean 4 形式化验证（GitHub: HongruZhao/KLS500）。研究者表示目前在精简证明并扩展其形式化验证，计划在最终审阅后公开。 总结：这一成果的价值不只在于解决了一个悬置31年的难题，也在于它给出了人机协作研究的一个具体范式——由研究者确定数学方向、评估并淘汰候选路线，让AI系统承担大规模探索与推导，而非把问题整体端到端交给前沿模型。对 AI 辅助数学（AI for Math）路线的实践者而言，这项工作同时给出了正反两面证据：AI在受人类引导时能贡献关键突破，而在同等token预算下的无引导尝试未能奏效。 参考来源： 1. 微软研究院官方博客：https://www.microsoft.com/en-us/research/blog/solving-a-31-year-old-grand-challenge-in-mathematics-the-kls-conjecture/ 2. 论文原文《An O(1) Bound for the KLS Constant》（arXiv:2610.01447）：https://arxiv.org/abs/2610.01447 3. 独立平行证明之一（arXiv:2610.05474）：https://arxiv.org/abs/2610.05474 4. 独立平行证明之二（arXiv:2610.07728）：https://arxiv.org/abs/2610.07728 5. Lean 4 形式化验证代码库：https://github.com/HongruZhao/KLS500 6. 2026年7月建立的最佳已知前序结果（arXiv:2607.24164）：https://arxiv.org/abs/2607.24164 7. 微软研究院官方社交账号公告：https://x.com/MSFTResearch/status/2112939825804243012 8. cellcog.ai 对该证明的解读：https://cellcog.ai/blog/kls-conjecture-solved-ai/ 9. 北京智源社区中文报道：https://hub.baai.ac.cn/view/58905 10. Techub News 中文快讯：https://www.techub.news/flash/5d777cd3-ae2c-4681-b8a7-3c1fa7b6537b 11. 西蒙斯研究所关于 KLS 猜想突破的说明：https://simons.berkeley.edu/news/almost-constant-lower-bound-isoperimetric-coefficient-kls-conjecture-breakthroughs 12. 《Quanta Magazine》2021年背景报道：https://www.quantamagazine.org/statistics-postdoc-tames-decades-old-geometry-problem-20210301/